扩展窗口与指数加权：expanding 与 ewm

expanding：窗口只增不减

上一节的 rolling 窗口大小固定，滑动前进。expanding（扩展窗口）不一样：窗口从第一个数据开始，每次都往后多包含一条，只增不减。第 i 个位置的结果，用的是从起点到 i 的全部数据。

用一句话记：expanding 算的是”到目前为止”的统计量。

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])

# 累积均值：到每个位置为止的平均
print(s.expanding().mean())
# 0    1.0
# 1    1.5
# 2    2.0
# 3    2.5
# 4    3.0

# 累积最大值：到每个位置为止见过的最大值
print(s.expanding().max())
# 0    1.0
# 1    2.0
# 2    3.0
# 3    4.0
# 4    5.0

看累积均值：索引 1 是 (1+2)/2=1.5，索引 2 是 (1+2+3)/3=2.0。窗口越长，数据越多，但起点永远是第一个。

实际上 expanding 就是滚动窗口的特例：窗口大小等于整个数据长度，再用 min_periods=1 让第一个点就能出结果。

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])

# 下面两种写法结果完全一样
print(s.rolling(window=len(s), min_periods=1).mean())
print(s.expanding(min_periods=1).mean())

expanding 的用法与场景

expanding 支持的聚合方法和 rolling 一样：sum、mean、max、min、std、var、median、count，也能用 agg 一次算多个：

import pandas as pd
import numpy as np

df = pd.DataFrame({"A": range(5), "B": range(10, 15)})
print(df.expanding().agg(["sum", "mean", "std"]))
#       A                    B
#     sum mean       std   sum mean       std
# 0   0.0  0.0       NaN  10.0  10.0       NaN
# 1   1.0  0.5  0.707107  21.0  10.5  0.707107
# 2   3.0  1.0  1.000000  33.0  11.0  1.000000
# 3   6.0  1.5  1.290994  46.0  11.5  1.290994
# 4  10.0  2.0  1.581139  60.0  12.0  1.581139

min_periods 在这里同样有效：指定至少累积多少个值才出结果。

expanding 的典型场景：

• 累计求和，比如”今年累计销售额”——其实用 cumsum() 也能做，expanding().sum() 是更通用的写法
• 累计最大值/最小值，比如股价上市以来的最高价
• 累积均值、累积标准差，比如”到目前为止的平均成绩”

ewm：越近的数据越重要

expanding 把历史上所有数据一视同仁。但很多场景里，昨天的数据比去年的数据更能说明问题。指数加权窗口（exponentially weighted window，ewm）就为此而生：每条数据都有权重，越靠近当前，权重越大，权重按指数递减。

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])

# alpha=0.5：每条数据的权重是前一条的 (1-0.5)=0.5 倍
print(s.ewm(alpha=0.5).mean().round(3))
# 0     1.000
# 1     1.667
# 2     2.429
# 3     3.267
# 4     4.161
# ...

拿索引 3 来说，结果 3.267 不是简单平均，而是当前值 4 的权重最大，越早的数据权重越小。alpha 是平滑系数，范围是 0 到 1：

• alpha 越大，越看重近期数据，曲线跟得越紧
• alpha 越小，历史数据的影响越久，曲线越平滑

把结果和 rolling 的普通平均对比，感觉更直观：同样 10 个递增的数，5 条平均在索引 4 才等于 2.0，而 ewm 从第二个点开始就”追”着最新值走。

参数怎么选：alpha、span 还是 halflife

直接记 alpha 不太符合直觉，pandas 提供了另外三个等价的参数，只能四选一：

参数	含义	与 alpha 的关系
alpha	平滑系数	直接指定
span	跨度，类似”N 日加权平均”	alpha = 2 / (span + 1)
halflife	半衰期：权重衰减到一半所需的时间	alpha = 1 - 0.5^(1/halflife)
com	质心，物理含义较强	alpha = 1 / (com + 1)

日常最常用的是 span。股票软件里的 EMA（指数移动平均线）就常用 span=12、span=26 这种”日”的说法：

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])

# span=3 等价于 alpha=2/(3+1)=0.5
print(s.ewm(span=3).mean().round(3))
# 0     1.000
# 1     1.667
# 2     2.429
# 3     3.267
# ...

两种计算方式的区别

ewm 的默认参数 adjust=True，结果按”加权平均”公式算：分子是各数据乘权重后求和，分母是权重之和。这样前几个点因为权重总和还很小，结果会明显偏向当前值。

改成 adjust=False，就变成递推公式：y_t = alpha * x_t + (1 - alpha) * y_{t-1}，新的结果由”当前值”和”上一个结果”直接算出来，第一个点等于原始值。数据无限长时两种方式结果一致；数据短时略有差别。

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5])

print(s.ewm(alpha=0.5).mean().round(3))
# 0    1.000
# 1    1.667
# 2    2.429
# 3    3.267
# 4    4.161

print(s.ewm(alpha=0.5, adjust=False).mean().round(3))
# 0    1.000
# 1    1.500
# 2    2.250
# 3    3.125
# 4    4.062

看到差别了吗？adjust=False 时索引 1 是 0.52 + 0.51 = 1.5，完全由递推得到。默认的 adjust=True 足够日常使用，不用刻意改。

ewm 的其他方法

除了 mean，ewm 还支持 std、var、cov、corr。比如算”指数加权波动率”，对收益率序列做 ewm 标准差，比 rolling 标准差反应更快：

import pandas as pd
import numpy as np

s = pd.Series([0.01, -0.02, 0.03, 0.005, -0.01])
print(s.ewm(span=10).std().round(4))

小例子：平滑一条带噪声的曲线

把三种窗口放在同一份数据上对比，用途一目了然。造一串带噪声的数据，分别用 rolling 和 ewm 平滑：

import pandas as pd
import numpy as np

np.random.seed(42)
s = pd.Series(100 + np.random.randn(20).cumsum())

# 普通 5 条移动平均：对每个点都一视同仁
ma = s.rolling(5).mean()
# 指数加权：近期数据权重更大，拐弯更快
ema = s.ewm(span=5).mean()

print(pd.DataFrame({"原始": s, "MA5": ma, "EMA5": ema}).round(2).head(10))
#      原始    MA5   EMA5
# 0  100.50    NaN  100.50
# 1  100.36    NaN  100.41
# 2  101.01    NaN  100.69
# 3  102.53    NaN  101.46
# 4  102.30  101.34  101.78
# ...

注意看 EMA5 从第 0 个点就有值，而且每一步都贴着原始数据走；MA5 要凑满 5 条才开始输出，拐弯也更”钝”。这就是指数加权的意义：敏感、及时。

分组后的 expanding 与 ewm

窗口函数同样可以接在 groupby（§37）后面，每组各自累积。比如每个城市的销售额，各自算”开业以来累计销售额”和”指数加权均值”：

import pandas as pd
import numpy as np

df = pd.DataFrame(
    {"城市": ["北京"] * 3 + ["上海"] * 3,
     "销售额": [100, 200, 150, 300, 200, 250]}
)

df["累计销售额"] = df.groupby("城市")["销售额"].expanding().sum().reset_index(drop=True)
print(df)
#    城市  销售额  累计销售额
# 0  北京   100    100.0
# 1  北京   200    300.0
# 2  北京   150    450.0
# 3  上海   300    300.0
# 4  上海   200    500.0
# 5  上海   250    750.0

北京自己的累计是 100、300、450，上海的累计从 300 重新开始，两组互不干扰。

三种窗口怎么选

窗口	窗口大小	权重	典型场景
rolling	固定 n 条（或固定时长）	平均	移动平均线、短期波动率
expanding	从起点到当前	平均	累计统计、历史极值
ewm	从起点到当前	近期更大	技术指标 EMA、快速平滑

一句话总结：想算”最近 n 条”，用 rolling；想算”到目前为止”，用 expanding；想算”到目前为止但更看重近期”，用 ewm。